아동의 분수 이해 발달 향상시키기

아동의 분수 이해 발달 향상시키기

이번 포스팅은 Gabriel et al. 2012의 Developing Children's Understanding of Fractions: An Intervention Study를 기반으로 작성하였다. 제목에서 보이는 Intervention study, 중재연구란 무엇일까?부터 살펴보기로 하자

 

중재연구란

일반적으로 아동의 분수 발달의 이해를 살펴본다고 하면 이는 관찰 연구(observational study)라 할 수 있겠다. 관찰연구에서는 연구 대상을 변화시키려 하지 않고 있는 그대로의 현상을 연구하게 된다. 반면에 중재연구란 "변화"를 목표로 어떤 존재하는 현상에 개입하는 연구를 말한다. 즉, 치료를 진행하거나, 혹은 위험행동을 예방하거나, 학습을 향상시키는 등의 변화를 목표로 하는 것 모두 중재연구에 해당한다. 즉 이번에 포스팅할 연구는 아동의 분수 이해를 향상시키기 위한 어떤 중재 활동을 기반으로 이 활동에 대한 효과가 있는지, 없는지 통계적으로 분석하여 증명한 연구라고 할 수 있다. 

일반적으로 중재연구를 한다고 해도, 그냥 아무 근거없이 하지 않는다. 중재를 위한 활동을 결정할 때, 선행 연구를 기반으로 이러한 활동이 효과가 있을 것이란 근거를 바탕으로 해야한다. 따라서, 이 연구에서 실행한 활동에 대해 들어가기 이전에 어떤 근거를 통해 이러한 활동을 가져왔는지를 먼저 살펴보도록 하겠다. 

 

분수 지식에 대한 이해

이전 분수 지식의 발달에 대해 간략하게 포스팅한 적이 있었다. 여기엔 유사한 내용도 있고, 추가된 내용도 있으니 관심 있으신 분은 읽어보시길 추천한다.

성분적 표상 VS 전체적 표상

수학 지식에는 개념지식과 절차지식이 존재하는데, 특히 개념지식에는 "크기를 표상하는 능력"이 포함된다. 즉, 분수의 크기에 대해서 이해하는 것이다. 2010년대의 많은 연구들은 "사람은 분수를 분자와 분모를 각각 따로따로 표상하는지(성분적 표상; componential representation), 아니면 분자와 분모 그 자체로 하나의 크기를 나타내는 숫자로 표상하는지(전체적 표상; holistic representation)"에 대해 연구하였다. 연구 결과는 분수의 유형에 따라서, 그리고 과제 난이도에 따라서 각각의 표상을 사용할 때가 다르게 나타난다. 분수가 공통 분모 혹은 공통 분자를 가지고 있는 경우 사람들은 성분적 표상을 사용하는 반면(분자와 분모를 따로 따로 봄), 분수가 공통 분모/분자가 없는 경우 전체적 표상을 한다고 하였다. 또한, 과제 난이도가 쉽다면 전체적 표상을 하지만 난이도가 어렵다면 성분적 표상을 사용한다. (아직 초등학교 3학년 등 어린 아동을 대상으로 연구하지 않았기 때문에 이 서로 다른 표상 방식을 어린 아동은 어떻게 사용하는지는 아직 알려진 바 없다. 추가로 이 성분적 분석과 전체적 표상의 사용 여부를 어떤 증거를 통해 밝혔는지 증명과정에 관심이 있는 분은 Hurst & Cordes (2016)의 Rational Number Comparison Across Notation: Fractions, Decimals, and Whole Numbers 논문 중 서론 부분을 참고하길 바란다.)

개념지식 VS 절차지식

분수에 대한 개념지식은 일반적으로 다음을 포함한다. 

• 일반적인 유리수의 크기 측정 (예: 같은 크기의 분수 equivalent fractions 알기)
• 분자와 분모의 역할에 대해 알기
• 전반적인 분수 크기를 이해하기

절차지식은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 약분 등의 계산에 필요한 지식을 말한다. 

많은 연구들이 개념지식과 절차지식은 서로 영향을 주고받는다고 밝혔다. 특히 개념지식에서 숫자 크기에 대한 표상은 더 심화된 수학학습을 위한 필수 조건으로 알려져있다. 분수에서도 마찬가지다. 분수의 크기 표상이 뛰어날수록, 분수에 대한 이해 외에도 이후 심화된 수학(algebra) 등을 더 잘 한다고 알려져 있다. 

 

교육 원리에 기반한 중재 활동 개발

분수 크기 표상에 대한 발달 굳히기

본 연구는 위의 선행연구에서 말했듯, 분수 크기 표상이 중요함에 초점을 맞추어 분수 크기 이해를 증진시킬 수 있는 활동으로 구성하였다. 분수 크기는 무엇을 의미하는지, 분수는 어떻게 표기하는지 등을 알려주고, 아동이 분수를 배우기 전에 알고 있는 자연수에 관한 지식과 비교하면서 아동의 수에 대한 개념을 바꾸기 위한 활동으로 구성하였다. 분수는 자연수를 배운 이후 처음으로 자연수 외의 수를 접하게 되는 수이다. 분수를 배우기 전 아동의 수의 개념은 자연수의 특징으로 한정된 수의 개념을 가지고 있다. 즉 숫자란 셀 수 있고, 하나의 숫자 앞, 뒤에 놓이는 수는 정해져 있고, 수는 더하면 무조건 크기가 커지고 등등이 아동이 가지고 있는 숫자의 개념일 것이다. 이 연구에서는 분수를 배우면서 이전에 가지고 있던 수에 대한 개념을 수정 및 더 확장시키는 활동을 포함하였다. 

구체적인 사물로부터 추상적인 표상으로의 점진적 이해

실재하는 사물을 통해 배우면서 점진적으로 추상적인 표상, 즉 머릿속에서의 분수 크기를 이해하는 것이 가능하도록 점진적인 접근을 통한 활동을 포함하였다. 이 연구에서는 나무조각을 사용하였는데, 이 나무조각을 이용하여 어떤 주어진 문제에 대한 답 찾기 등의 활동을 하게되고, 이 때 어려운 문제도 포함시켰다. 또 분수가 1보다 클 수 있음을 알려주기 위해 나무조각을 겹쳐놓는 등의 활동 역시 포함되었다. 이러한 활동은 아동이 실제로 참여하는 방식이라 더 재미있게 분수에 대한 이해를 도울 수 있다.

이 논문에 따르면, 원모양으로 이루어진 사물 (파이 등)은 너무 분수에 대한 고정관념적 표상이라 이를 사용해 분수를 가르치는 것에 대해 논쟁이 존재한다고 했다 (분수를 사용하는 데 원 모양 사물이 너무 자주 사용되어 분수=원처럼 고정관념화 되는 것이 분수 이해에 크게 도움이 되지 않을 수 있다는 논쟁). 그래도 친근한 사물로 시작하는 것이 나쁘지 않다고 판단하여 원모양의 나무조각을 사용하였다고 했으며, 이 나무조각은 여러 활동을 하는 중에 보조적으로 사용할 수 있게 했다. 여러 모양과 수학 기호를 통한 분수 표상까지 점진적으로 게임형식을 통해 제시하였고, 점점 활동을 진행하면서 모양을 통한 분수 이해 활동은 줄이고 기호를 통한 분수 이해 활동을 증가시켰다. 

놀이처럼 하는 활동

선행 연구들에 따르면 학습을 놀이활동처럼 하게 될 때 학습에 긍정적인 영향을 준다고 하였다. 놀이활동처럼 학습을 진행하는 경우, 말하기 능력, 집중력, 호기심, 문제 해결 전략, 협동, 집단 활동 참여 등에 좋은 영향을 주게 되며 이 외에도 아동의 학습 동기, 학습에의 의지가 높게 나타난다고 했다. 

협동

다른 아이들과 함께 협력하는 활동은 아동의 학습에 대한 이해를 깊게 해주고, 여러 관점을 서로 교환하는 데 의미가 있다고 하였다. 

 

중재활동

이 활동은 일주일에 두 번 30분씩 10주동안 진행되었고, 아이들은 3~5명이 한 조가 되어 게임에 참여하였다. 매 주 새로운 게임이 소개되었고 각각의 일주일 내 두번째 시간은 첫번째 시간에서 배운것을 복습하되 더 어려운 난이도의 게임이 주어졌다. 따로 나무조각이 준비되어 만약 게임에 어려움이 있다면 이 나무조각을 사용할 수 있다. 나무조각은 1/2~1/12까지 조각내어져있다. 

잘 시간이라 모든 게임을 번역하는 것은 무리가 있다고 판단...! 세 가지 활동만 포스팅하겠다. 만약 다른 게임 진행 방식도 알고싶다면 이 글 젤 앞에 있는 논문을 참고해주세요!

기억 게임

기억 게임의 첫번째 목표는 같은 크기를 나타내는 분수끼리 짝지어보는 것이다. 따라서 두개씩 같은 크기의 분수를 짝지어 보고, 숫자 표기에 대해 배우며, 분수 크기에 대한 표상을 기억하는 활동이다. 책상위에 여러 분수 카드를 앞이 안보이게 뒤집어 놓고, 각각의 참여자가 차례대로 두 장의 카드를 뒤집게 된다. 그 두 장의 카드가 같은 분수를 보이는 경우 "빙고"를 외치고 다른 친구들에게 그 카드가 같은 분수를 나타내는지 확인을 받는다. 만약 친구들끼리 의견이 다르다면 이들은 두 분수를 비교하기 위해서 앞에 놓인 나무 조각을 사용할 수 있었다. 의견이 같다면 빙고를 외친 친구가 그 두 카드를 가진다. 이 게임에서는 다른 친구보다 더 많은 분수 짝을 가지는 것을 목표로 한다. 

전쟁 게임

이 활동은 분수를 비교하는 활동이다. 이는 학생들이 분수 쿠기 표상을 돕는 활동이다. 40개의 카드를 각각 게임 참여자 모두에게 같은 수로 나눠준다. 카드는 앞이 안보이게 책상위에 뒤집어져있고 게임 참여자들은 동시에 젤 위의 카드를 앞으로 뒤집는다. 가장 큰 분수가 적힌 카드를 가진 참여자가 모든 카드를 가지게 되며 새로 가지게 된 카드들은 자신의 카드 묶음 제일 아래에 두게 된다. 같은 값의 분수가 나와 누가 젤 큰지 결정을 할 수 없는 경우, 각각의 참여자들은 그 다음 카드를 뒤집고 누가 더 큰지 확인하게 된다. 모든 참여자들은 젤 큰 분수를 결정할 때 동의해야하고 의견에 차이가 있는 경우 나무 조각을 사용해 분수를 비교해볼 수 있다. 아무 카드가 남지 않은 참여자는 게임에서 탈락하고, 두 명의 참여자가 남은 경우 이들은 같이 우승자가 된다. 

보물찾기 게임

이 활동은 분수 크기 비교, 가분수 발견하기, 추정 혹은 나무 조각을 사용해 분수 더하기 등의 활동을 포함했다. 분수를 더하는 방식은 부수 크기 표상에 더 초점을 맞추었고, 통분을 필요로 하지 않았다. 이 게임을 위해서 카드가 전부 책상 위에 앞면이 보이지 않게 뒤집어 놓는다. 한 번에 두 개의 카드를 뒤집고 첫번째 참여자가 더 큰 수라고 생각하는 수를 가져간다. 다른 하나의 카드가 뒤집어지고 그 다음 참여자는 그 중에 더 큰 수를 가져간다. 모든 게임 참여자가 두개 혹은 세개의 카드를 가지고 있을 때, 다음 질문을 한다 "가지고 있는 카드를 다 더했을 때 누가 가장 큰 수를 가지고 있나요?". 가장 큰 합계를 가진 참여자는 보너스카드를 가지게 되고 다시 새로 이 게임을 시작하여 같은 절차를 반복한다. 

 

중재활동의 결과

본 연구의 중재 활동의 결과, 이 중재활동 시간 동안 일반적인 교실에서 처럼 분수를 배운 집단보다 이 중재활동에 참여한 아동 집단의 분수 이해가 훨씬 높았음을 보여주었다. 이 중재 집단 아동은 분수 크기 측정, 분수 크기 비교, 일직선 상에 주어진 분수 표시하기 등의 활동에서 모두 더 높은 수행을 보여주었으며, 분수에 대한 학습동기 역시 높게 나타났다.  

 

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나도 이렇게 배웠으면 더 재밌게 수학을 배웠을 것 같다는 생각이 들었다. 뭐.. 근데 난 수학 문제 푸는것도 재밌어하고 수학을 잘했어서....🤣 수학을 싫어하고 어려워하는 아이들이 더 재밌고 쉽게 배울 수 있는 방식을 잘 소개해준 것 같다.